Qual é o fator comum por agrupamento? 6 exemplos
O fator comum por agrupamento é uma forma de fatorar, através da qual os termos de um polinômio são "agrupados" para criar uma forma mais simplificada do polinômio.
Um exemplo de fatoração por agrupamento é 2 × 2 + 8x + 3x + 12 é igual à forma fatorada (2x + 3) (x + 4).
Na fatoração por agrupamento, os fatores comuns entre os termos de um polinômio são procurados e, posteriormente, a propriedade distributiva é aplicada para simplificar o polinômio; é por isso que, às vezes, é chamado de fator comum por agrupamento.
Etapas para fatorar por agrupamento
Etapa n ° 1
Você deve ter certeza de que o polinômio tem quatro termos; caso seja um trinômio (com três termos), ele deve ser transformado em um polinômio de quatro termos.
Etapa n ° 2
Determine se os quatro termos possuem um fator comum. Se assim for, o fator comum deve ser extraído e o polinômio reescrito.
Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 25x + 5
Fator comum: 5
5 (x2 + 2x + 5x + 1)
Etapa n ° 3
Caso o fator comum dos dois primeiros termos seja diferente do fator comum dos dois últimos termos, os termos com fatores comuns devem ser agrupados e o polinômio reescrito.
Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4
Fator comum em 5 × 2 + 10 x: 5x
Fator comum em 2x + 4: 2
5x (x + 2) + 2 (x + 2)
Etapa n ° 4
Se os fatores resultantes forem idênticos, o polinômio, incluindo o fator comum, será reescrito uma vez.
Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4
5x (x + 2) + 2 (x + 2)
(5x + 2) (x + 2)
Exemplos de fatoração por agrupamento
Exemplo n ° 1: 6 × 2 + 3x + 20x + 10
Este é um polinômio que tem quatro termos, entre os quais não há um fator comum. No entanto, os termos um e dois têm 3x como um fator comum; enquanto os termos três e quatro têm 10 como um fator comum.
Ao extrair os fatores comuns de cada par de termos, você pode reescrever o polinômio da seguinte maneira:
3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)
Agora, pode ser visto que esses dois termos têm um fator comum: (2x + 1); Isso significa que você pode extrair esse fator e reescrever o polinômio novamente:
(3x + 10) (2x + 1)
Exemplo n ° 2: x2 + 3x + 2x + 6
Neste exemplo, como no anterior, os quatro termos não possuem um fator comum. No entanto, os dois primeiros termos têm x como um fator comum, enquanto nos dois últimos o fator comum é 2.
Nesse sentido, você pode reescrever o polinômio da seguinte maneira:
x (x + 3) + 2 (x + 3)
Agora, extraímos o fator comum (x + 3), o resultado será o seguinte:
(x + 2) (x + 3)
Exemplo n ° 3: 2y3 + y2 + 8y2 + 4y
Nesse caso, o fator comum entre os dois primeiros termos é y2, enquanto o fator comum nos dois últimos é de 4y.
O polinômio reescrito seria o seguinte:
y2 (2y + 1) + 4y (2y + 1)
Agora, extraímos o fator (2y + 1) e o resultado é o seguinte:
(y2 + 4y) (2y + 1)
Exemplo n ° 4: 2 × 2 + 17x + 30
Quando o polinômio não possui quatro termos, mas é um trinômio (que possui três termos), é possível fatorar por agrupamento.
No entanto, é necessário dividir o termo do meio para que você possa ter quatro elementos.
No trinômio 2 × 2 + 17x + 30, o termo 17x deve ser dividido em dois.
Nos trinômios que seguem a forma ax2 + bx + c, a regra é encontrar dois números cujo produto é axcy cuja soma é igual a b.
Isso significa que, neste exemplo, precisamos de um número cujo produto seja 2 x 30 = 60 e que seja total 17. A resposta para isso é o exercício 5 e 12.
Em seguida, reescrevemos o trinômio na forma de um polinômio:
2 × 2 + 12x + 5x + 30
Os dois primeiros termos têm x como um fator comum, enquanto o fator comum nos dois últimos é 6. O polinômio resultante seria:
x (2x + 5) + 6 (2x +5)
Finalmente, extraímos o fator comum nesses dois termos; O resultado é o seguinte:
(x + 6) (2x + 5)
Exemplo n ° 5: 4 × 2 + 13x + 9
Neste exemplo, você também precisa dividir o termo do meio para formar um polinômio de quatro termos.
Neste caso, precisamos de dois números cujo produto é 4 x 9 = 36 e cuja soma é igual a 13. Neste sentido, os números requeridos são 4 e 9.
Agora, o trinômio é reescrito na forma de um polinômio:
4 × 2 + 4x + 9x + 9
Nos dois primeiros termos, o fator comum é 4x, enquanto no segundo, o fator comum é 9.
4x (x + 1) + 9 (x + 1)
Depois de extrairmos o fator comum (x + 1), o resultado será o seguinte:
(4x + 9) (x +1)
Exemplo n ° 6: 3 × 3 - 6x + 15x - 30
No polinômio proposto, todos os termos possuem um fator comum: 3. Então, o polinômio é reescrito da seguinte forma:
3 (x3 - 2x + 5x -10)
Agora, vamos agrupar os termos entre parênteses e determinar o fator comum entre eles. Nos dois primeiros, o fator comum é x, enquanto nos dois últimos é 5:
3 (x2 (x - 2) + 5 (x - 2))
Finalmente, o fator comum (x - 2) é extraído; O resultado é o seguinte:
3 (x2 + 5) (x - 2)
