Classificação de números reais
A principal classificação dos números reais é dividida em números naturais, números inteiros, números racionais e números irracionais. Os números reais são representados com a letra R.
Existem muitas maneiras pelas quais diferentes números reais podem ser construídos ou descritos, variando de formas mais simples a mais complexas, dependendo do trabalho matemático que você deseja fazer.
Como os números reais são classificados?
Números naturais
Estes são os números usados para contar, como "há quatro flores no copo".
Algumas definições começam os números naturais em 0, enquanto outras definições começam em 1. Os números naturais são os usados para contar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... etc; Eles são usados como números ordinais ou cardinais.
Os números naturais são as bases com as quais muitos outros conjuntos de números podem ser construídos por extensão: números inteiros, números racionais, números reais e números complexos, entre outros.
Essas cadeias de extensão formam os números naturais canonicamente identificados nos outros sistemas numéricos.
As propriedades dos números naturais, como a divisibilidade e a distribuição dos números primários, são estudadas na teoria dos números.
Os problemas relacionados à contagem e ordenação, como enumerações e particionamento, são estudados em combinatória.
Na linguagem comum, como nas escolas primárias, os números naturais podem ser chamados de números contáveis para excluir inteiros negativos e zero.
Eles possuem várias propriedades, tais como: adição, multiplicação, subtração, divisão, etc.
Números inteiros
Números inteiros são aqueles números que podem ser gravados sem um componente fracionário. Por exemplo: 21, 4, 0, -76, etc. Por outro lado, números como 8, 58 ou √2 não são números inteiros.
Pode-se dizer que os números inteiros são números completos, juntamente com números negativos de números naturais. Eles são usados para expressar o dinheiro que é devido, profundidades em relação ao nível do mar ou temperatura abaixo de zero, para citar alguns usos.
Um conjunto de inteiros consiste em zero (0), números naturais positivos (1, 2, 3 ...) e inteiros negativos (-1, -2, -3 ...). Geralmente isso é denominado com um ZZ ou com um negrito Z (Z).
Z é um subconjunto do grupo de números racionais Q, que por sua vez formam o grupo de números reais R. Assim como os números naturais, Z é um grupo contável infinito.
Números inteiros formam o menor grupo e o menor conjunto de números naturais. Na teoria dos números algébricos, inteiros são às vezes chamados inteiros irracionais para distingui-los de inteiros algébricos.
Números racionais
Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o componente ou fração de dois inteiros p / q, um numerador p e um denominador q. Como q pode ser igual a 1, cada número inteiro é um número racional.
O conjunto de números racionais, muitas vezes referido como "os racionais", é denotado por um Q.
A expansão decimal de um número racional sempre termina após um número finito de dígitos ou quando a mesma seqüência finita de dígitos é repetida várias vezes.
Além disso, qualquer decimal repetido ou terminal representa um número racional. Estas declarações são verdadeiras não apenas para a base 10, mas também para qualquer outra base inteira.
Um número real que não é racional é chamado de irracional. Números irracionais incluem √2, a π ee, por exemplo. Uma vez que todo o conjunto de números classificáveis é contável e que o grupo de números reais não é contável, pode-se dizer que quase todos os números reais são irracionais.
Os números racionais podem ser formalmente definidos como classes de equivalências de pares de inteiros (p, q) de modo que q ≠ 0 ou a relação equivalente definida por (p1, q1) (p2, q2) somente se p1, q2 = p2q1.
Números racionais, juntamente com adição e multiplicação, formam campos que formam números inteiros e são contidos por qualquer ramificação que contenha inteiros.
Números irracionais
Números irracionais são todos números reais que não são números racionais; Números irracionais não podem ser expressos como frações. Os números racionais são os números compostos de frações de números inteiros.
Como consequência da prova de Cantor de que todos os números reais são incontáveis e de que números racionais são contáveis, pode-se concluir que quase todos os números reais são irracionais.
Quando o raio de comprimento de dois segmentos de linha é um número irracional, pode-se dizer que esses segmentos de linha são incomensuráveis; significando que não existe um comprimento suficiente para que cada um deles possa ser "medido" com um seu inteiro múltiplo particular.
Entre os números irracionais estão o raio π de uma circunferência de um círculo ao seu diâmetro, o número de Euler (e), o número de ouro (φ) e a raiz quadrada de dois; mais ainda, todas as raízes quadradas dos números naturais são irracionais. A única exceção a essa regra são os quadrados perfeitos.
Pode-se observar que quando números irracionais são expressos posicionalmente em um sistema numeral, (como por exemplo em números decimais) eles não terminam ou são repetidos.
Isso significa que eles não contêm uma seqüência de dígitos, a repetição pela qual uma linha de representação é feita.
Por exemplo: a representação decimal do número π começa com 3, 14159265358979, mas não há nenhum número finito de dígitos que possam representar exatamente π, nem possam ser repetidos.
A prova de que a expansão decimal de um número racional deve terminar ou ser repetida é diferente da prova de que uma extensão decimal deve ser um número racional; Apesar de básico e um pouco longo, esses testes levam algum trabalho.
Normalmente, os matemáticos geralmente não adotam a noção de "terminar ou repetir" para definir o conceito de um número racional.
Números irracionais também podem ser tratados através de frações não contínuas.
