A importância da matemática para abordar as situações da física
A importância da matemática para lidar com situações da física é introduzida pela compreensão de que a matemática é a linguagem para formular leis empíricas da natureza.
Uma grande parte da matemática é determinada pela compreensão e definição de relações entre objetos. Consequentemente, a física é um exemplo específico de matemática.
Ligação entre matemática e física
Geralmente considerado um relacionamento altamente íntimo, alguns matemáticos descreveram essa ciência como uma "ferramenta essencial para a física", e a física tem sido descrita como "uma rica fonte de inspiração e conhecimento em matemática".
As considerações de que a matemática é a linguagem da natureza podem ser encontradas nas idéias de Pitágoras: a convicção de que "os números dominam o mundo" e que "tudo é número".
Essas idéias também foram expressas por Galileu Galilei: "O livro da natureza é escrito em linguagem matemática".
Demorou muito tempo na história da humanidade antes que alguém descobrisse que a matemática é útil e até vital na compreensão da natureza.
Aristóteles pensava que as profundezas da natureza nunca poderiam ser descritas pela simplicidade abstrata da matemática.
Galileu reconheceu e usou o poder da matemática no estudo da natureza, o que permitiu que suas descobertas iniciassem o nascimento da ciência moderna.
O físico, em seu estudo dos fenômenos naturais, tem dois métodos de progredir:
- o método de experimento e observação
- o método do raciocínio matemático.
Matemática no Esquema Mecânico
O esquema mecânico considera o Universo em sua totalidade como um sistema dinâmico, sujeito às leis do movimento que são essencialmente do tipo newtoniano.
O papel da matemática neste esquema é representar as leis do movimento através de equações.
A idéia dominante nessa aplicação da matemática à física é que as equações que representam as leis do movimento devem ser feitas de maneira simples.
Esse método de simplicidade é muito restrito; aplica-se fundamentalmente às leis do movimento, não a todos os fenómenos naturais em geral.
A descoberta da teoria da relatividade tornou necessário modificar o princípio da simplicidade. Presumivelmente, uma das leis fundamentais do movimento é a lei da gravidade.
Mecânica Quântica
A mecânica quântica requer a introdução na teoria física de um vasto domínio da matemática pura, o domínio completo ligado à multiplicação não comutativa.
Pode-se esperar no futuro que o domínio da matemática pura seja envolto em avanços fundamentais da física.
Mecânica Estática, Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica
Um exemplo mais avançado que demonstra a relação profunda e frutífera entre física e matemática é que a física pode eventualmente desenvolver novos conceitos matemáticos, métodos e teorias.
Isso foi demonstrado pelo desenvolvimento histórico da mecânica estática e da teoria ergódica.
Por exemplo, a estabilidade do sistema solar era um problema antigo investigado por grandes matemáticos desde o século XVIII.
Foi uma das principais motivações para o estudo de movimentos periódicos em sistemas de corpos, e mais geralmente em sistemas dinâmicos, especialmente através do trabalho de Poincaré em mecânica celeste e das investigações de Birkhoff em sistemas dinâmicos gerais.
Equações diferenciais, números complexos e mecânica quântica
É bem sabido que, desde a época de Newton, as equações diferenciais têm sido uma das principais ligações entre a matemática e a física, conduzindo ambos os desenvolvimentos importantes na análise e na consistência e formulação frutífera das teorias físicas.
Talvez seja menos conhecido que muitos dos importantes conceitos de análise funcional tenham se originado no estudo da teoria quântica.
