Antecedentes Históricos da Geometria Analítica

O pano de fundo histórico da geometria analítica remonta ao século XVII, quando Pierre de Fermat e René Descartes definiram sua ideia fundamental. Sua invenção seguiu a modernização da álgebra e a notação algébrica de François Viète.

Este campo tem suas bases na Grécia Antiga, especialmente nas obras de Apolônio e Euclides, que tiveram grande influência nessa área da matemática.

A ideia essencial por trás da geometria analítica é que uma relação entre duas variáveis, de modo que uma é uma função da outra, define uma curva.

Esta ideia foi desenvolvida pela primeira vez por Pierre de Fermat. Graças a essa estrutura essencial, Isaac Newton e Gottfried Leibniz conseguiram desenvolver o cálculo.

O filósofo francês Descartes também descobriu uma abordagem algébrica da geometria, aparentemente por conta própria. O trabalho de Descartes sobre geometria aparece em seu famoso livro Discourse on Method .

Neste livro, salienta-se que a bússola e as construções geométricas das bordas retas envolvem adição, subtração, multiplicação e raízes quadradas.

A geometria analítica representa a união de duas importantes tradições da matemática: geometria como o estudo da forma e aritmética e álgebra, que tem a ver com quantidade ou números. Portanto, a geometria analítica é o estudo do campo da geometria usando sistemas de coordenadas.

História

Fundo de geometria analítica

A relação entre geometria e álgebra evoluiu ao longo da história da matemática, embora a geometria tenha atingido um grau de maturidade anterior.

Por exemplo, o matemático grego Euclid conseguiu organizar muitos resultados em seu clássico livro The Elements .

Mas foi o antigo grego Apolônio de Perga que previu o desenvolvimento da geometria analítica em seu livro Cônico . Ele definiu uma cônica como a interseção entre um cone e um plano.

Usando os resultados de Euclides em triângulos semelhantes e secando em círculos, ele encontrou uma relação dada pelas distâncias de qualquer ponto "P" de uma cônica para duas linhas perpendiculares, o eixo maior de uma cônica e a tangente em um ponto final do eixo. Apolônio usou esse relacionamento para deduzir as propriedades fundamentais das cônicas.

O desenvolvimento subseqüente de sistemas de coordenadas em matemática só surgiu depois que a álgebra amadureceu graças a matemáticos islâmicos e indianos.

Até que a geometria do Renascimento fosse usada para justificar soluções para problemas algébricos, mas não havia muito que a álgebra pudesse contribuir para a geometria.

Essa situação mudaria com a adoção de uma notação conveniente para as relações algébricas e o desenvolvimento do conceito de uma função matemática, que agora era possível.

Século XVI

No final do século XVI, o matemático francês François Viète introduziu a primeira notação algébrica sistemática, usando letras para representar quantidades numéricas, conhecidas e desconhecidas.

Ele também desenvolveu poderosos métodos gerais para trabalhar expressões algébricas e resolver equações algébricas.

Graças a isso, os matemáticos não eram completamente dependentes de figuras geométricas e intuição geométrica para resolver problemas.

Mesmo alguns matemáticos começaram a abandonar o modo de pensar geométrico padrão, segundo o qual as variáveis ​​lineares de comprimentos e quadrados correspondem a áreas, enquanto as variáveis ​​cúbicas correspondem aos volumes.

Os primeiros a dar este passo foram o filósofo e matemático René Descartes e o advogado e matemático Pierre de Fermat.

Fundação da geometria analítica

Descartes e Fermat fundaram independentemente a geometria analítica durante a década de 1630, adotando a álgebra de Viète para o estudo do locus.

Esses matemáticos perceberam que a álgebra era uma ferramenta de grande poder na geometria e inventaram o que hoje é conhecido como geometria analítica.

Um avanço que eles fizeram foi superar Viète usando letras para representar distâncias variáveis ​​em vez de fixas.

Descartes usou equações para estudar curvas geometricamente definidas e destacou a necessidade de considerar as curvas algébricas-gráficas gerais das equações polinomiais nos graus "x" e "y".

Por sua parte, Fermat enfatizou que qualquer relação entre as coordenadas "x" e "e" determina uma curva.

Usando essas idéias, ele reestruturou as declarações de Apolônio sobre termos algébricos e restaurou alguns de seus trabalhos que foram perdidos.

Fermat indicou que qualquer equação quadrática em "x" e "y" pode ser colocada na forma padrão de uma das seções cônicas. Apesar disso, Fermat nunca publicou seu trabalho sobre o assunto.

Graças a seus avanços, o que Arquimedes só pôde resolver com grande dificuldade e, para casos isolados, Fermat e Descartes conseguiram resolvê-lo rapidamente e para um grande número de curvas (agora conhecidas como curvas algébricas).

Mas suas idéias só ganharam aceitação geral através dos esforços de outros matemáticos na segunda metade do século XVII.

Os matemáticos Frans van Schooten, Florimond de Beaune e Johan de Witt ajudaram a expandir o trabalho de Decartes e acrescentaram material adicional importante.

Influência

Na Inglaterra, John Wallis popularizou a geometria analítica. Ele usou equações para definir as cônicas e derivar suas propriedades. Embora ele tenha usado coordenadas negativas livremente, foi Isaac Newton quem usou dois eixos oblíquos para dividir o plano em quatro quadrantes.

Newton e o alemão Gottfried Leibniz revolucionaram a matemática no final do século XVII, demonstrando independentemente o poder do cálculo.

Newton demonstrou a importância dos métodos analíticos na geometria e seu papel no cálculo, quando afirmou que qualquer cubo (ou qualquer curva algébrica de terceiro grau) tem três ou quatro equações padrão para eixos coordenados adequados. Com a ajuda do próprio Newton, o matemático escocês John Stirling testou em 1717.

Geometria analítica de três e mais dimensões

Embora Descartes e Fermat tenham sugerido o uso de três coordenadas para estudar curvas e superfícies no espaço, a geometria analítica tridimensional desenvolveu-se lentamente até 1730.

Os matemáticos Euler, Hermann e Clairaut produziram equações gerais para cilindros, cones e superfícies de revolução.

Por exemplo, Euler usou equações para traduções no espaço para transformar a superfície quadrática geral, de modo que seus eixos principais coincidissem com seus eixos coordenados.

Euler, Joseph-Louis Lagrange e Gaspard Monge fizeram geometria analítica independente da geometria sintética (não analítica).