Propriedades da Igualdade
As propriedades de igualdade referem-se à relação entre dois objetos matemáticos, números ou variáveis. É denotado pelo símbolo «=», que sempre vai entre esses dois objetos. Essa expressão é usada para estabelecer que dois objetos matemáticos representam o mesmo objeto; em outra palavra, que dois objetos são a mesma coisa.
Há casos em que é trivial usar igualdade. Por exemplo, é claro que 2 = 2. No entanto, quando se trata de variáveis, não é mais trivial e tem usos específicos. Por exemplo, se você tem y = x e, por outro lado, x = 7, você pode concluir que y = 7 também.
O exemplo anterior é baseado em uma das propriedades da igualdade, como será visto em breve. Estas propriedades são indispensáveis para resolver equações (igualdades envolvendo variáveis), que formam uma parte muito importante na matemática.
Quais são as propriedades da igualdade?
Propriedade reflexiva
A propriedade reflexiva, no caso de igualdade, afirma que cada número é igual a si mesmo e é expresso como b = b para qualquer número real b.
No caso particular da igualdade, esta propriedade parece ser óbvia, mas em outro tipo de relação entre números, não é. Em outras palavras, nem toda relação de números reais cumpre essa propriedade. Por exemplo, tal caso da relação "menor que" (<); nenhum número é menor que ele mesmo.
Propriedade simétrica
A propriedade simétrica para igualdade diz que se a = b, então b = a. Não importa qual ordem é usada nas variáveis, isso será preservado pela relação de igualdade.
Uma certa analogia dessa propriedade pode ser observada com a propriedade comutativa no caso de adição. Por exemplo, devido a essa propriedade, é equivalente escrever y = 4 ou 4 = y.
Propriedade transitiva
A propriedade transitiva em igualdade declara que se a = beb = c, então a = c. Por exemplo, 2 + 7 = 9 e 9 = 6 + 3; portanto, pela propriedade transitiva, temos 2 + 7 = 6 + 3.
Uma aplicação simples é a seguinte: suponha que Julian tenha 14 anos e que Mario tenha a mesma idade que Rosa. Se Rosa tem a mesma idade de Julian, que idade tem Mario?
Por trás desse cenário, a propriedade transitiva é usada duas vezes. Matematicamente interpreta-se assim: seja "a" idade de Mario, "b" a idade de Rosa e "c" a idade de Julian. Sabe-se que b = c ec = 14.
Para a propriedade transitiva, temos que b = 14; isto é, Rosa tem 14 anos. Como a = b e b = 14, usando novamente a propriedade transitiva, temos a = 14; isto é, a idade de Mario também é de 14 anos.
Propriedade uniforme
A propriedade uniforme é que, se ambos os lados de uma igualdade forem adicionados ou multiplicados pela mesma quantidade, a igualdade será preservada. Por exemplo, se 2 = 2, então 2 + 3 = 2 + 3, o que é claro, então 5 = 5. Esta propriedade tem mais utilidade quando se trata de resolver uma equação.
Por exemplo, suponha que você seja solicitado a resolver a equação x-2 = 1. É conveniente lembrar que a solução de uma equação consiste em determinar explicitamente a variável (ou variáveis) envolvidas, com base em um número específico ou em uma variável especificada anteriormente.
Voltando à equação x-2 = 1, o que deve ser feito é encontrar explicitamente quanto vale a pena. Para isso, a variável deve ser desmarcada.
Foi erroneamente ensinado que, neste caso, como o número 2 é negativo, ele passa para o outro lado da igualdade com um sinal positivo. Mas não é correto dizer isso dessa maneira.
Basicamente, o que está sendo feito é aplicar a propriedade uniforme, como veremos abaixo. A ideia é limpar "x"; isto é, deixe-o sozinho em um lado da equação. Por convenção, geralmente é deixado no lado esquerdo.
Para este propósito, o número que você quer "eliminar" é -2. A maneira de fazer isso seria adicionar 2, pois -2 + 2 = 0 e x + 0 = 0. Para fazer isso sem alterar a igualdade, a mesma operação deve ser aplicada no outro lado.
Isto permite que a propriedade uniforme seja realizada: como x-2 = 1, se o número 2 for adicionado em ambos os lados da igualdade, a propriedade uniforme diz que o mesmo não é alterado. Então temos que x-2 + 2 = 1 + 2, o que equivale a dizer que x = 3. Com isso, a equação seria resolvida.
Da mesma forma, se você quiser resolver a equação (1/5) y-1 = 9, você pode continuar usando a propriedade uniforme da seguinte maneira:
Mais geralmente, as seguintes declarações podem ser feitas:
- Se ab = cb, então a = c.
- Se xb = y, então x = y + b.
- Se (1 / a) z = b, então z = a ×
- Se (1 / c) a = (1 / c) b, então a = b.
Propriedade de cancelamento
A propriedade de cancelamento é um caso particular de propriedade uniforme, particularmente considerando o caso de subtração e divisão (que, no final, também correspondem a adição e multiplicação). Esta propriedade trata este caso separadamente.
Por exemplo, se 7 + 2 = 9, então 7 = 9-2. Ou se 2y = 6, então y = 3 (dividindo por dois em ambos os lados).
Analogamente ao caso anterior, através da propriedade de cancelamento, as seguintes afirmações podem ser estabelecidas:
- Se a + b = c + b, então a = c.
- Se x + b = y, então x = yb.
- Se az = b, então z = b / a.
- Se ca = cb, então a = b.
Propriedade de substituição
Se soubermos o valor de um objeto matemático, a propriedade de substituição afirma que esse valor pode ser substituído em qualquer equação ou expressão. Por exemplo, se b = 5 e a = bx, então substituindo o valor de "b" na segunda igualdade, temos a = 5x.
Outro exemplo é o seguinte: se "m" divide "n" e também "n" divide "m", então deve ser m = n.
Com efeito, dizer que "m" divide "n" (ou equivalentemente, que "m" é um divisor de "n") significa que a divisão m não é exata; isto é, dividindo "m" por "n" você obtém um inteiro, não um número decimal. Isso pode ser expresso dizendo que existe um inteiro "k" tal que m = k × n.
Como "n" também divide "m", existe um inteiro "p" tal que n = p × m. Para a propriedade de substituição, temos que n = p × k × n, e para que isso aconteça, existem duas possibilidades: n = 0, caso em que teríamos a identidade 0 = 0; op × k = 1, onde a identidade n = n teria que ser.
Suponha que "n" seja diferente de zero. Então necessariamente p × k = 1; portanto, p = 1 e k = 1. Usando novamente a propriedade de substituição, ao substituir k = 1 na igualdade m = k × n (ou equivalentemente, p = 1 em n = p × m) é finalmente obtido que m = n, que era o que se queria demonstrar.
Propriedade do poder em igualdade
Como anteriormente foi visto que se uma operação é feita como uma soma, multiplicação, subtração ou divisão em ambos os termos de uma igualdade, ela é preservada, da mesma forma que outras operações que não alteram uma igualdade podem ser aplicadas.
A chave é sempre fazer isso em ambos os lados da igualdade e ter certeza de que a operação pode ser realizada. Tal é o caso do empoderamento; isto é, se ambos os lados de uma equação são elevados ao mesmo poder, ela ainda tem uma igualdade.
Por exemplo, como 3 = 3, então 32 = 32 (9 = 9). Em geral, dado um inteiro "n", se x = y, então xn = yn.
Propriedade da raiz em uma igualdade
Este é um caso particular de potenciação e é aplicado quando a potência é um número racional não inteiro, como ½, que representa a raiz quadrada. Esta propriedade afirma que se a mesma raiz for aplicada em ambos os lados de uma igualdade (desde que seja possível), a igualdade será preservada.
Ao contrário do caso anterior, aqui você deve ter cuidado com a paridade da raiz a ser aplicada, pois é bem sabido que o par raiz de um número negativo não está bem definido.
No caso em que o radical é par, não há problema. Por exemplo, se x3 = -8, mesmo que seja uma igualdade, você não pode aplicar uma raiz quadrada em ambos os lados, por exemplo. No entanto, se você pode aplicar uma raiz cúbica (que é ainda mais conveniente se você quiser saber explicitamente o valor de x), obtendo x = -2.
