Teorema de Torricelli: em que consiste, fórmulas e exercícios resolvidos

O teorema de Torricelli ou o princípio de Torricelli afirma que a velocidade do líquido que sai através do buraco na parede de um tanque ou container é idêntica àquela que adquire um objeto que é permitido cair livremente de uma altura igual à da superfície. Livre do líquido para o buraco.

O teorema é ilustrado na figura a seguir:

Devido ao teorema de Torricelli, podemos afirmar que a velocidade de saída do líquido através de um orifício que está a uma altura h abaixo da superfície livre do líquido é dada pela seguinte fórmula:

Onde g é a aceleração da gravidade eh é a altura do buraco até a superfície livre do líquido.

Evangelista Torricelli foi um físico e matemático nascido na cidade de Faenza, Itália no ano de 1608. Torricelli é creditado com a invenção do barômetro de mercúrio e em reconhecimento há uma unidade de pressão chamada "torr", equivalente a um milímetro de mercúrio (Hg mm)

Demonstração do teorema

No teorema de Torricelli e na fórmula que dá a velocidade, presume-se que as perdas por viscosidade sejam insignificantes, assim como na queda livre supõe-se que o atrito devido ao ar que envolve o objeto que cai é insignificante.

A suposição acima é razoável na maioria dos casos e também envolve a conservação da energia mecânica.

Para provar o teorema, vamos primeiro encontrar a fórmula de velocidade para um objeto que é liberado com rapidez inicial zero, da mesma altura que a superfície do líquido no reservatório.

O princípio de conservação de energia será aplicado para obter a velocidade do objeto em queda apenas quando uma altura h igual à do buraco para a superfície livre tiver descido.

Como não há perdas por fricção, é válido aplicar o princípio de conservação de energia mecânica. Suponha que o objeto em queda tenha uma massa me a altura seja medida a partir do nível de saída do líquido.

Objeto caindo

Quando o objeto é liberado de uma altura igual à da superfície livre do líquido, sua energia é apenas um potencial gravitacional, já que sua velocidade é zero e, portanto, sua energia cinética é zero. A energia potencial Ep é dada por:

Ep = mgh

Quando passa do buraco sua altura é zero, então a energia potencial é zero, então só tem energia cinética Ec dada por:

Ec = ½ m v2

Como a energia é conservada Ep = Ec do que é obtido:

½ m v2 = mgh

Apagando a velocidade v você recebe a fórmula de Torricelli então:

Líquido que sai do buraco

Em seguida, vamos encontrar a velocidade de saída do líquido através do orifício, a fim de mostrar que coincide com o que acabou de ser calculado para um objeto que cai livremente.

Para isso, basear-nos-emos no princípio de Bernoulli, que nada mais é do que a conservação de energia aplicada aos fluidos.

O princípio de Bernoulli é formulado assim:

A interpretação desta fórmula é a seguinte:

O primeiro termo representa a energia cinética do fluido por unidade de volume
O segundo representa o trabalho realizado pela pressão por unidade de área transversal
O terceiro representa a energia potencial gravitacional por unidade de volume de fluido.

Como partimos da premissa de que é um fluido ideal, em condições não turbulentas com velocidades relativamente baixas, então é pertinente afirmar que a energia mecânica por unidade de volume no fluido é constante em todas as regiões ou suas seções transversais.

Nesta fórmula V é a velocidade do fluido, ρ a densidade do fluido, P a pressão ez a posição vertical.

Na figura que aparece abaixo, a fórmula de Torricelli baseada no princípio de Bernoulli é demonstrada.

Aplicamos a fórmula de Bernoulli na superfície livre do líquido que denotamos por (1) e no orifício de saída que denotamos por (2). O nível de altura zero foi escolhido nivelado com o orifício de saída.

Sob a premissa de que a seção transversal em (1) é muito maior do que em (2), podemos supor então que a taxa de descida do líquido em (1) é praticamente desprezível.

Por essa razão, V ₁ = 0 foi colocado, a pressão à qual o líquido é submetido em (1) é a pressão atmosférica e a altura medida a partir do orifício é h .

Para a seção de saída (2) assumimos que a velocidade de saída é v, a pressão à qual o líquido é submetido à saída é também a pressão atmosférica e a altura de saída é zero.

Os valores correspondentes às seções (1) e (2) da fórmula de Bernoulli são substituídos e equalizados. A igualdade é válida porque assumimos que o fluido é ideal e não há perdas por atrito viscoso. Uma vez que todos os termos tenham sido simplificados, a velocidade no orifício de saída é obtida.

A caixa anterior mostra que o resultado obtido é o mesmo de um objeto que cai livremente,

Exercícios resolvidos

Exercício 1

I ) O pequeno tubo de descarga de um depósito de água está a 3 m abaixo da superfície da água. Calcule a velocidade de saída da água.

Solução:

A figura a seguir mostra como a fórmula de Torricelli se aplica a este caso.

Exercício 2

II ) Assumindo que o tubo de saída do tanque do exercício anterior, tenha um diâmetro de 1 cm, calcule o fluxo de saída de água.

Solução:

O fluxo é o volume de líquido que sai por unidade de tempo e é calculado simplesmente pela multiplicação da área do orifício de saída pela velocidade de saída.

A figura a seguir mostra os detalhes do cálculo.