Leis de Morgan

Os olhos de Morgan são regras de inferência usadas na lógica proposicional, que estabelecem o que é o resultado de negar uma disjunção e uma conjunção de proposições ou variáveis proposicionais. Essas leis foram definidas pelo matemático Augustus De Morgan.

As leis de Morgan representam uma ferramenta muito útil para demonstrar a validade de um raciocínio matemático. Mais tarde, eles foram generalizados dentro do conceito de conjuntos pelo matemático George Boole.

Essa generalização feita por Boole é completamente equivalente às leis iniciais de Morgan, mas é desenvolvida especificamente para conjuntos e não para proposições. Essa generalização também é conhecida como leis de Morgan.

Revisão da lógica proposicional

Antes de olhar para o que as leis de Morgan são especificamente e como elas são usadas, é conveniente lembrar algumas noções básicas de lógica proposicional. (Para mais detalhes veja o artigo sobre lógica proposicional).

No campo da lógica matemática (ou proposicional), uma inferência é uma conclusão que é emitida a partir de um conjunto de premissas ou hipóteses. Essa conclusão, juntamente com as premissas mencionadas, dá origem ao que é conhecido como raciocínio matemático.

Este raciocínio deve poder ser demonstrado ou negado; isto é, que nem todas as inferências ou conclusões em um raciocínio matemático são válidas.

Falácia

Uma falsa inferência emitida a partir de certas suposições que são consideradas verdadeiras é conhecida como falácia. As falácias têm a peculiaridade de serem argumentos que parecem corretos, mas matematicamente não são.

A lógica proposicional é encarregada de desenvolver e fornecer precisamente métodos por meio dos quais se pode, sem qualquer ambigüidade, validar ou refutar um raciocínio matemático; isto é, inferir uma conclusão válida a partir de premissas. Esses métodos são conhecidos como regras de inferência, das quais as leis de Morgan fazem parte.

Proposições

Os elementos essenciais da lógica proposicional são proposições. Proposições são declarações sobre as quais se pode dizer se são válidas ou não, mas não podem ser verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Não deve haver ambiguidade nesse assunto.

Assim como os números podem ser combinados através de operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, as proposições podem ser operadas por meio do conhecido conectivo (ou conectores) lógico: negação (, "não"), disjunção (V, "O"), conjunção (Ʌ, "e"), condicional (→, "se ..., depois ...") e biconditional (↔, "sim e somente se").

Para trabalhar de forma mais geral, em vez de considerar proposições específicas, consideramos variáveis proposicionais que representam quaisquer proposições, e são geralmente denotadas por letras minúsculas p, q, r, s, etc.

Uma fórmula proposicional é uma combinação de variáveis proposicionais através de alguns dos conectivos lógicos. Em outras palavras, é uma composição de variáveis proposicionais. Eles geralmente são denotados com letras gregas.

Diz-se que uma fórmula proposicional implica logicamente outra quando a última é verdadeira toda vez que a primeira é verdadeira. Isso é denotado por:

Quando a implicação lógica entre duas fórmulas proposicionais é recíproca - isto é, quando a implicação prévia é válida também na direção oposta - as fórmulas são ditas logicamente equivalentes, e é denotada por

A equivalência lógica é um tipo de igualdade entre fórmulas proposicionais e permite que uma seja substituída pela outra quando necessário.

Leis de Morgan

As leis de Morgan consistem em duas equivalências lógicas entre duas formas proposicionais, a saber:

Essas leis permitem separar a negação de uma disjunção ou conjunção, como negações das variáveis envolvidas.

A primeira pode ser lida da seguinte forma: a negação de uma disjunção é igual à conjunção das negações. E o segundo é assim: a negação de uma conjunção é a disjunção das negações.

Em outras palavras, negar a disjunção de duas variáveis proposicionais é equivalente à conjunção das negações de ambas as variáveis. Da mesma forma, negar a conjunção de duas variáveis proposicionais é equivalente à disjunção das negações de ambas as variáveis.

Como mencionado anteriormente, a substituição dessa equivalência lógica ajuda a demonstrar resultados importantes, juntamente com as outras regras de inferência existentes. Com estes você pode simplificar muitas fórmulas proposicionais, para que elas sejam mais úteis para trabalhar.

O seguinte é um exemplo de uma prova matemática usando regras de inferência, entre essas leis de Morgan. Especificamente, é mostrado que a fórmula:

é equivalente a:

Este último é mais simples de entender e desenvolver.

Demonstração

Vale ressaltar que a validade das leis de Morgan pode ser demonstrada matematicamente. Uma maneira é comparar suas tabelas de verdade.

Conjuntos

As mesmas regras de inferência e as noções de lógica aplicadas a proposições, também podem ser desenvolvidas considerando conjuntos. Isto é o que é conhecido como álgebra booleana, depois do matemático George Boole.

Para diferenciar os casos, é necessário alterar a notação e transferir para conjuntos todas as noções já vistas da lógica proposicional.

Um conjunto é uma coleção de objetos. Os conjuntos são indicados com letras maiúsculas A, B, C, X, ... e os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas a, b, c, x, etc. Quando um elemento a pertence a um conjunto X, é denotado por:

Quando não pertence a X, a notação é:

A maneira de representar os conjuntos é colocar seus elementos dentro das chaves. Por exemplo, o conjunto de números naturais é representado por:

Conjuntos também podem ser representados sem escrever uma lista explícita de seus elementos. Eles podem ser expressos no formato {:}. Os dois pontos são lidos "tal que". Uma variável representando os elementos do conjunto é colocada à esquerda dos dois pontos, e a propriedade ou condição que eles satisfazem é colocada no lado direito. Isto é:

Por exemplo, o conjunto de inteiros maiores que -4 pode ser expresso como:

Ou equivalentemente, e mais abreviado, como:

Da mesma forma, as seguintes expressões representam os conjuntos de números pares e ímpares, respectivamente:

União, intersecção e complementos de conjuntos

Em seguida, veremos os análogos do conectivo lógico no caso de conjuntos, que são parte das operações básicas entre conjuntos.

União e interseção

A união e a interseção de conjuntos são definidos, respectivamente, da seguinte maneira:

Por exemplo, considere os conjuntos:

Então você precisa:

Complemento

O complemento de um conjunto é formado pelos elementos que não pertencem a esse conjunto (do mesmo tipo que o original representa). O complemento de um conjunto A é denotado por:

Por exemplo, dentro dos números naturais, o complemento do conjunto de números pares é o dos números ímpares e vice-versa.

Para determinar o complemento de um conjunto, deve ficar claro desde o início o conjunto universal ou principal de elementos que estão sendo considerados. Por exemplo, não é igual considerar o complemento de um conjunto nos números naturais que nos racionais.

A tabela a seguir mostra a relação ou analogia que existe entre as operações em conjuntos previamente definidos e os conectivos da lógica proposicional: