Quais são as equações simultâneas? (com exercícios resolvidos)

As equações simultâneas são aquelas equações que devem ser cumpridas ao mesmo tempo. Portanto, para ter equações simultâneas, é preciso ter mais de uma equação.

Quando você tem duas ou mais equações diferentes, que devem ter a mesma solução (ou as mesmas soluções), você diz que tem um sistema de equações ou diz que tem equações simultâneas.

Quando você tem equações simultâneas, pode acontecer que elas não tenham soluções comuns ou tenham uma quantidade finita ou tenham uma quantidade infinita.

Equações simultâneas

Dadas duas equações diferentes Eq1 e Eq2, temos que o sistema dessas duas equações é chamado de equações simultâneas.

As equações simultâneas cumprem que se S é uma solução de Eq1 então S é também uma solução de Eq2 e vice versa

Funcionalidades

Quando se trata de um sistema de equações simultâneas, você pode ter 2 equações, 3 equações ou N equações.

Os métodos mais comuns usados para resolver equações simultâneas são: substituição, equalização e redução. Há também outro método chamado regra de Cramer, que é muito útil para sistemas com mais de duas equações simultâneas.

Um exemplo de equações simultâneas é o sistema

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Pode-se notar que x = 0, y = 2 é uma solução de Eq1, mas não é uma solução de Eq2.

A única solução comum que ambas as equações têm é x = 1, y = 1. Ou seja, x = 1, y = 1 é a solução do sistema de equações simultâneas.

Exercícios Resolvidos

Em seguida, prossiga para resolver o sistema de equações simultâneas mostrado acima, através dos 3 métodos mencionados.

Primeiro exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de substituição.

Solução

O método de substituição consiste em limpar uma das incógnitas de uma das equações e depois substituí-la na outra equação. Neste caso particular, você pode limpar «y» da Eq1 e obter y = 2-x.

Substituindo este valor de «y» na Eq2, obtém-se que 2x- (2-x) = 1. Portanto, obtemos 3x-2 = 1, isto é, x = 1.

Então, como o valor de x é conhecido, ele é substituído em "y" e y = 2-1 = 1 é obtido.

Portanto, a única solução do sistema de equações simultâneas Eq1 e Eq2 é x = 1, y = 1.

Segundo exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de equalização.

Solução

O método de equalização consiste em limpar a mesma questão de ambas as equações e equalizar as equações resultantes.

Clearing "x" de ambas as equações, obtemos que x = 2-y, e que x = (1 + y) / 2. Agora, essas duas equações são equacionadas e obtemos 2-y = (1 + y) / 2, onde se verifica que 4-2y = 1 + y.

Agrupar o "y" desconhecido no mesmo lado resulta em y = 1. Agora que sabemos "e", continuamos a encontrar o valor de "x". Substituindo y = 1, obtemos que x = 2-1 = 1.

Portanto, a solução comum entre as equações Eq1 e Eq2 é x = 1, y = 1.

Terceiro Exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de redução.

Solução

O método de redução consiste em multiplicar as equações dadas pelos coeficientes apropriados, de modo que, ao adicionar essas equações, uma das variáveis seja cancelada.

Neste exemplo em particular, você não precisa multiplicar nenhuma equação por nenhum coeficiente, basta adicioná-los juntos. Ao adicionar Eq1 mais Eq2 obtemos 3x = 3, a partir dos quais obtemos x = 1.

Quando avaliamos x = 1 na Eq1, obtemos aquele 1 + y = 2, de onde resulta que y = 1.

Portanto, x = 1, y = 1 é a única solução das equações simultâneas Eq1 e Eq2.

Quarto exercício

Resolva o sistema de equações simultâneas Eq1: 2x-3y = 8 e Eq2: 4x-3y = 12.

Solução

Neste exercício, nenhum método específico é necessário, portanto, o método mais confortável para cada leitor pode ser aplicado.

Neste caso, o método de redução será usado. Multiplicando Eq1 por -2 dá a equação Eq3: -4x + 6y = -16. Agora, adicionando Eq3 e Eq2 dá 3y = -4, portanto y = -4 / 3.

Agora, quando avaliamos y = -4 / 3 em Eq1, obtemos aquele 2x-3 (-4/3) = 8, onde 2x + 4 = 8, portanto, x = 2.

Em conclusão, a única solução do sistema de equações simultâneas Eq1 e Eq2 é x = 2, y = -4 / 3.