Matemática Discreta: O Que Servem, Teoria dos Conjuntos
A matemática discreta corresponde a uma área da matemática responsável pelo estudo do conjunto de números naturais; isto é, o conjunto de números finitos e infinitos contáveis onde os elementos podem ser contados separadamente, um por um.
Esses conjuntos são conhecidos como conjuntos discretos; Um exemplo desses conjuntos são números inteiros, gráficos ou expressões lógicas, e eles são aplicados em diferentes campos da ciência, principalmente em computação ou computação.
Descrição
Em processos matemáticos discretos são contáveis, baseados em números inteiros. Isto significa que números decimais não são usados e, portanto, a aproximação ou limites não são utilizados, como em outras áreas. Por exemplo, um desconhecido pode ser igual a 5 ou 6, mas nunca 4, 99 ou 5, 9.
Por outro lado, na representação gráfica as variáveis serão discretas e serão dadas a partir de um conjunto finito de pontos, que são contados um por um, como visto na imagem:
A matemática discreta nasce da necessidade de obter um estudo exato que possa ser combinado e testado, para aplicá-lo em diferentes áreas.
Qual é o uso de matemática discreta?
A matemática discreta é usada em várias áreas. Entre os principais estão os seguintes:
Combinatório
Estude conjuntos finitos onde os elementos podem ser ordenados ou combinados e contados.
Teoria da distribuição discreta
Estude eventos que ocorrem em espaços onde as amostras podem ser contadas, nas quais distribuições contínuas são usadas para aproximar distribuições discretas, ou no caminho oposto.
Teoria da informação
Refere-se à codificação da informação, usada para o projeto e transmissão e armazenamento de dados, como por exemplo sinais analógicos.
TI
Através de problemas matemáticos discretos são resolvidos usando algoritmos, bem como estudar o que pode ser calculado e o tempo que leva para fazê-lo (complexidade).
A importância da matemática discreta nesta área tem aumentado nas últimas décadas, especialmente para o desenvolvimento de linguagens de programação e softwares .
Criptografia
É baseado em matemática discreta para criar estruturas de segurança ou métodos de criptografia. Um exemplo desse aplicativo são senhas, enviando separadamente bits que contêm informações.
Através do estudo, as propriedades de inteiros e números primos (teoria dos números) podem criar ou destruir esses métodos de segurança.
Lógica
Estruturas discretas são usadas, que geralmente formam um conjunto finito, para provar teoremas ou, por exemplo, verificar software.
Teoria dos grafos
Ele permite a resolução de problemas lógicos, usando nós e linhas que formam um tipo de gráfico, conforme mostrado na imagem a seguir:
É uma área intimamente ligada à matemática discreta, porque as expressões algébricas são discretas. Através disso, circuitos eletrônicos, processadores, programação (álgebra booleana) e bases de dados (álgebra relacional) são desenvolvidos.
Geometria
Estudar as propriedades combinatórias de objetos geométricos, como o revestimento do plano. Por outro lado, a geometria computacional possibilita o desenvolvimento de problemas geométricos através da aplicação de algoritmos.
Teoria dos conjuntos
Em conjuntos de matemática discretos (finitos e infinitos numeráveis) são o principal objetivo do estudo. A teoria dos conjuntos foi publicada por George Cantor, que mostrou que todos os conjuntos infinitos têm o mesmo tamanho.
Um conjunto é um agrupamento de elementos (números, coisas, animais e pessoas, entre outros) que são bem definidos; isto é, há uma relação segundo a qual cada elemento pertence a um conjunto e é expresso, por exemplo, em ∈ A.
Na matemática, existem conjuntos diferentes que agrupam determinados números de acordo com suas características. Então, por exemplo, você tem:
- Conjunto de números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.
- Conjunto de inteiros E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.
- Subconjunto de números racionais Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.
- Conjunto de números reais R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.
Os conjuntos são nomeados com letras do alfabeto, em maiúsculas; enquanto os elementos são nomeados em letras minúsculas, dentro de chaves ({}) e separados por vírgulas (, ). Eles são geralmente representados em diagramas como Venn e Caroll, bem como computacionalmente.
Com operações básicas como união, intersecção, complemento, diferença e produto cartesiano, os conjuntos e seus elementos são gerenciados, baseados na relação de pertencimento.
Existem vários tipos de conjuntos, os mais estudados em matemática discreta são os seguintes:
Conjunto finito
É aquele que tem um número finito de elementos e que corresponde a um número natural. Assim, por exemplo, A = {1, 2, 3, 4} é um conjunto finito que possui 4 elementos.
Conjunto de contabilidade infinita
É aquele em que há uma correspondência entre os elementos de um conjunto e os números naturais; isto é, que de um elemento todos os elementos de um conjunto podem ser listados sucessivamente.
Desta forma, cada elemento corresponderá a cada elemento do conjunto de números naturais. Por exemplo:
O conjunto de inteiros Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} pode ser listado como Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. Desta forma, é possível fazer uma correspondência um-para-um entre os elementos de Z e os números naturais, como mostrado na imagem a seguir:
É um método usado para resolver problemas contínuos (modelos e equações) que devem ser convertidos em problemas discretos, nos quais a solução é conhecida com a aproximação da solução do problema contínuo.
Visto de outro modo, a discretização tenta extrair uma quantidade finita de um conjunto infinito de pontos; Desta forma, uma unidade contínua é transformada em unidades individuais.
Geralmente este método é usado em análise numérica, como por exemplo na solução de uma equação diferencial, por meio de uma função que é representada por uma quantidade finita de dados em seu domínio, mesmo quando é contínua.
Outro exemplo de discretização é seu uso para converter um sinal analógico em digital, quando unidades contínuas de sinal são convertidas em unidades individuais (elas são discretizadas), e então codificadas e quantificadas para obter um sinal digital.
