Triângulo Isósceles: características, fórmula e área, cálculo

Um triângulo isósceles é um polígono com três lados, onde dois deles têm a mesma medida e o terceiro lado uma medida diferente. Este último lado é chamado de base. Devido a esta característica, foi dado este nome, que em grego significa "pernas iguais"

Triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. São aqueles que possuem o menor número de lados e ângulos em relação aos demais polígonos, porém seu uso é muito extenso.

Características dos triângulos isósceles

O triângulo isósceles foi classificado usando a medida de seus lados como um parâmetro, já que dois de seus lados são congruentes (eles têm o mesmo comprimento).

De acordo com a amplitude dos ângulos internos, os triângulos isósceles são classificados como:

Triângulo isósceles retangulares : dois de seus lados são iguais. Um de seus ângulos é reto (90o) e os outros são iguais (45o cada)
Triângulo isósceles isósceles : dois dos seus lados são iguais. Um de seus ângulos é obtuso (> 90o).
Triângulo agudo isósceles : dois dos seus lados são iguais. Todos os ângulos são agudos (<90o), onde dois têm a mesma medida.

Componentes

A mediana : é uma linha que sai do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. As três medianas se encontram em um ponto chamado centróide ou centróide.
A bissetriz : é um raio que divide o ângulo de cada vértice em dois ângulos de tamanho igual. É por isso que é conhecido como o eixo de simetria e este tipo de triângulos tem apenas um.
A mediatriz perpendicular : é um segmento perpendicular ao lado do triângulo, que se origina no meio disto. Existem três mediatices em um triângulo e coincidem em um ponto chamado circumcenter.
A altura : é a linha que vai do vértice ao lado oposto e esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas, que coincidem em um ponto chamado ortocentro.

Propriedades

Os triângulos isósceles são definidos ou identificados por possuírem várias propriedades que os representam, oriundos dos teoremas propostos pelos grandes matemáticos:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180o.

Soma dos lados

A soma das medidas dos dois lados deve sempre ser maior que a medida do terceiro lado, a + b> c.

Lados congruentes

Os triângulos isósceles têm dois lados com a mesma medida ou comprimento; isto é, eles são congruentes e o terceiro lado é diferente destes.

Ângulos congruentes

Os triângulos isósceles são conhecidos como triângulos iso-angulares também, porque eles têm dois ângulos que têm a mesma medida (congruentes). Estes estão localizados na base do triângulo, opostos aos lados que têm o mesmo comprimento.

Por isso, o teorema que estabelece isso:

"Se um triângulo tem dois lados congruentes, os ângulos opostos também serão congruentes". Portanto, se um triângulo é isósceles, os ângulos de suas bases são congruentes.

Exemplo:

A figura a seguir mostra um triângulo ABC. Ao traçar sua bissetriz do vértice do ângulo B até a base, o triângulo é dividido em dois triângulos iguais BDA e BDC:

Assim, o ângulo do vértice B também foi dividido em dois ângulos iguais. A bissetriz é agora o lado (BD) comum entre esses dois novos triângulos, enquanto os lados AB e BC são os lados congruentes. Este é o caso do lado de congruência, ângulo, lado (LAL).

Isso mostra que os ângulos dos vértices A e C têm a mesma medida, assim como também pode ser mostrado que, como os triângulos BDA e BDC são congruentes, os lados AD e DC também são congruentes.

Altura, mediana, bissetriz e bissetriz são coincidentes

A linha que é desenhada do vértice oposto à base até o ponto médio da base do triângulo isósceles é ao mesmo tempo a altura, a mediana e a bissetriz, bem como a bissetriz relativa ao ângulo oposto da base.

Todos esses segmentos coincidem em um que os representa.

Exemplo:

A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio M que divide a base em dois segmentos BM e CM.

Quando você desenha um segmento do ponto M para o vértice oposto, por definição você obtém a mediana AM, que é relativa ao vértice A e ao lado BC.

Uma vez que o segmento AM divide o triângulo ABC em dois triângulos iguais AMB e AMC, isso significa que o caso de congruência lateral, ângulo e lado estará presente e, portanto, a AM também será a bissetriz de BÂC.

É por isso que a bissetriz será sempre igual à mediana e vice-versa.

O segmento AM forma ângulos que possuem a mesma medida para os triângulos AMB e AMC; isto é, são suplementares de tal maneira que a medida de cada um será:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180º

2 _* Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90

Pode-se saber que os ângulos formados pelo segmento AM em relação à base do triângulo são retos, o que indica que este segmento é totalmente perpendicular à base.

Portanto, representa a altura e a bissetriz, sabendo que M é o ponto médio.

Portanto, a linha reta AM:

Representa a altura do BC.
É médio.
Está contido na mediatrix de BC.
É a bissetriz do ângulo do vértice

Alturas relativas

As alturas que são relativas aos lados iguais têm a mesma medida também.

Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, suas duas alturas respectivas também serão iguais.

Orocentro, baricentro, incentivo e circumcenter coincidem

Como a altura, a mediana, a bissetriz e a bissetriz, em relação à base, são representadas ao mesmo tempo pelo mesmo segmento, o ortocentro, o incentivo centrocêntrico e o circumcenter serão pontos colineares, ou seja, estarão na mesma linha:

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado pela soma dos lados.

Como neste caso o triângulo isósceles tem dois lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 2 _* (lado a) + (lado b).

Como calcular a altura?

A altura é a linha perpendicular à base, divide o triângulo em duas partes iguais, estendendo-se ao vértice oposto.

A altura representa a perna oposta (a), metade da base (b / 2) para a perna adjacente e o lado "a" representa a hipotenusa.

Usando o teorema de Pitágoras, você pode determinar o valor da altura:

a2 + b 2 = c 2

Onde:

a 2 = altura (h).

b 2 = b / 2.

c 2 = lado a.

Substituindo esses valores no teorema de Pitágoras, e limpando a altura, temos:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( a 2 - b 2/4).

Se o ângulo formado pelos lados congruentes é conhecido, a altura pode ser calculada com a seguinte fórmula:

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por dois:

Há casos em que apenas as medições de dois lados do triângulo e o ângulo formado entre eles são conhecidos. Neste caso, para determinar a área, é necessário aplicar as razões trigonométricas:

Como calcular a base do triângulo?

Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, para determinar o valor de sua base é necessário conhecer pelo menos a medida da altura ou um de seus ângulos.

Conhecendo a altura, o teorema de Pitágoras é usado:

a2 + b2 = c2

Onde:

a2 = altura (h).

c2 = lado a.

b2 = b / 2, é desconhecido.

Nós limpamos b2 da fórmula e temos que:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Como esse valor corresponde a metade da base, ele deve ser multiplicado por dois para obter a medida completa da base do triângulo isósceles:

b = 2 _* (√ a2 - c2)

No caso em que apenas o valor de seus lados iguais e o ângulo entre eles são conhecidos, a trigonometria é aplicada, traçando uma linha do vértice até a base que divide o triângulo isósceles em dois triângulos retos.

Desta forma, metade da base é calculada com:

Também é possível que apenas o valor da altura e do ângulo do vértice que é oposto à base seja conhecido. Nesse caso, por trigonometria, a base poderia ser determinada:

Exercícios

Primeiro exercício

Encontre a área do triângulo isósceles ABC, sabendo que dois dos seus lados medem 10 cm e o terceiro lado mede 12 cm.

Solução

Para encontrar a área do triângulo é necessário calcular a altura usando a fórmula da área que está relacionada ao teorema de Pitágoras, já que o valor do ângulo formado entre os lados iguais não é conhecido.

Temos os seguintes dados do triângulo isósceles:

Lados iguais (a) = 10 cm.
Base (b) = 12 cm.

Os valores na fórmula são substituídos:

Segundo exercício

O comprimento dos dois lados iguais de um triângulo isósceles mede 42 cm, a união desses lados formando um ângulo de 130o. Determine o valor do terceiro lado, a área desse triângulo e o perímetro.

Solução

Neste caso, as medidas dos lados e o ângulo entre elas são conhecidas.

Para conhecer o valor do lado ausente, ou seja, a base desse triângulo, traçamos uma linha perpendicular a ele, dividindo o ângulo em duas partes iguais, uma para cada triângulo retângulo formado.

Lados iguais (a) = 42 cm.
Ângulo (Ɵ) = 130o

Agora, por trigonometria, calcula-se o valor da metade da base, que corresponde a metade da hipotenusa:

Para calcular a área é necessário conhecer a altura desse triângulo que pode ser calculado por trigonometria ou pelo teorema de Pitágoras, agora que o valor da base já foi determinado.

Por trigonometria será: